Moyenne Mobile Exponentiellement Pondérée Ppt

MOYENS MOYENS ET LISSE EXPONENTIELLE Farideh Dehkordi-Vakil. Présentation sur le thème: LES MOYENS MOBILES ET LE LISSAGE EXPONENTIEL Farideh Dehkordi-Vakil. Transcription de la présentation: 2 Introduction Ce chapitre présente les modèles applicables aux données de séries temporelles avec des données saisonnières, à tendance ou à la fois saisonnières et à tendance et des données stationnaires. Les méthodes de prévision discutées dans ce chapitre peuvent être classées comme suit: Méthodes de moyenne. Observations également pondérées Méthodes de lissage exponentiel. Ensemble inégal de poids sur les données passées, où les poids décroissent exponentiellement des points de données les plus récents aux plus distants. Toutes les méthodes de ce groupe nécessitent que certains paramètres soient définis. Ces paramètres (avec des valeurs entre 0 et 1) détermineront les poids inégaux à appliquer aux données passées. 3 Introduction Méthodes de moyenne Si une série temporelle est générée par un processus constant soumis à une erreur aléatoire, la moyenne est une statistique utile et peut être utilisée comme prévision pour la période suivante. Les méthodes de moyenne sont appropriées pour les séries chronologiques stationnaires où la série est en équilibre autour d'une valeur constante (la moyenne sous-jacente) avec une variance constante dans le temps. 4 Introduction Méthodes de lissage exponentielles La méthode de lissage exponentiel la plus simple est la méthode de lissage unique (SES) où un seul paramètre doit être estimé La méthode Holts utilise deux paramètres différents et permet de prévoir les séries avec tendance. Holt-Winters méthode implique trois paramètres de lissage pour lisser les données, la tendance et l'indice saisonnier. 5 Méthodes de moyenne La moyenne Utilise la moyenne de toutes les données historiques comme prévision Lorsque de nouvelles données deviennent disponibles, la prévision pour le temps t2 est la nouvelle moyenne incluant les données précédemment observées plus cette nouvelle observation. Cette méthode est appropriée lorsqu'il n'y a pas de tendance notable ou de saisonnalité. 6 Méthodes de moyenne La moyenne mobile de la période t est la moyenne des k observations les plus récentes. Le nombre constant k est spécifié au début. Plus le nombre k est faible, plus le poids est élevé pour les périodes récentes. Plus le nombre k est grand, moins le poids est donné aux périodes plus récentes. 7 Moyennes mobiles Un grand k est souhaitable lorsqu'il y a des fluctuations larges et peu fréquentes dans la série. Un petit k est le plus souhaitable quand il ya des changements brusques dans le niveau de la série. Pour les données trimestrielles, une moyenne mobile sur quatre trimestres, MA (4), élimine ou limite les effets saisonniers. 8 Moyennes mobiles Pour les données mensuelles, une moyenne mobile de 12 mois, MA (12), élimine ou réduit l'effet saisonnier. Des pondérations égales sont attribuées à chaque observation utilisée dans la moyenne. Chaque nouveau point de données est inclus dans la moyenne au fur et à mesure qu'il devient disponible, et le point de données le plus ancien est rejeté. 9 Moyennes mobiles Une moyenne mobile de l'ordre k, MA (k) est la valeur de k observations consécutives. K est le nombre de termes dans la moyenne mobile. Le modèle de la moyenne mobile ne traite pas très bien la tendance ou la saisonnalité bien qu'il puisse faire mieux que la moyenne totale. 10 Exemple: Ventes hebdomadaires des grands magasins Les chiffres hebdomadaires des ventes (en millions de dollars) présentés dans le tableau suivant sont utilisés par un grand magasin pour déterminer le besoin de personnel de vente temporaire. 12 Utilisez une moyenne mobile de trois semaines (k3) pour les ventes des magasins à prévoir pour les semaines 24 et 26. L'erreur de prévision est 15 Méthodes de lissage exponentielles Cette méthode fournit une moyenne mobile exponentiellement pondérée de toutes les valeurs observées précédemment. Approprié pour les données sans tendance prévisible à la hausse ou à la baisse. L'objectif est d'estimer le niveau actuel et de l'utiliser comme prévision de la valeur future. 16 Méthode de Lissage Exponentiel Simple Formellement, l'équation de lissage exponentiel est prévue pour la période suivante. Constante de lissage. Y t valeur observée des séries dans la période t. Ancienne prévision pour la période t. La prévision F t1 est basée sur la pondération de l'observation la plus récente yt avec un poids et une pondération de la prévision la plus récente F t avec un poids de 1 - 17 Lissage Simple Exponentiel L'implication du lissage exponentiel peut être mieux vue si l'équation précédente est élargie En remplaçant Ft par ses composantes de la façon suivante: Si ce processus de substitution est répété en remplaçant F t-1 par ses composantes, F t-2 par ses composantes, et ainsi de suite le résultat est: Par conséquent, F t1 Est la moyenne mobile pondérée de toutes les observations passées. 19 Méthode de lissage exponentiel simple Le tableau suivant montre les poids attribués aux observations passées pour 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 0,9 20 Méthode de lissage exponentiel simple L'équation de lissage exponentiel réécrite sous la forme suivante élucide le rôle du facteur de pondération. La prévision de lissage exponentielle est l'ancienne prévision plus un ajustement pour l'erreur qui s'est produite dans la dernière prévision. 21 Méthode de lissage exponentiel simple La valeur de la constante de lissage doit être comprise entre 0 et 1 ne peut être égale à 0 ou 1. Si des prédictions stables avec variation aléatoire aléatoire sont souhaitées, alors une petite valeur de est désir. Si une réponse rapide à un changement réel dans le modèle d'observations est souhaitée, une grande valeur est appropriée. Pour estimer, les prévisions sont calculées pour égales à 1, .2, .3,, .9 et la somme de l'erreur de prévision quadratique est calculée pour chacune d'elles. La valeur de la plus faible RMSE est choisie pour être utilisée dans la production des prévisions futures. 23 Lissage Simple Exponentiel Pour démarrer l'algorithme, on a besoin de F 1 car Comme F 1 n'est pas connu, on peut fixer la première estimation égale à la première observation. Utilisez la moyenne des cinq ou six premières observations pour la valeur lissée initiale. 24 Exemple: Université du Michigan Index du sentiment du consommateur Université du Michigan Index du sentiment du consommateur pour janvier1995- décembre1996. Nous voulons prévoir l'indice de l'université du Michigan Sentiment consommateur en utilisant Simple Exponential Smoothing méthode. 25 Exemple: Indice de sentiments des consommateurs de l'Université du Michigan Comme aucune prévision n'est disponible pour la première période, nous établirons la première estimation égale à la première observation. Nous essayons 0,3 et 0,6. 26 Exemple: Université du Michigan Index du sentiment du consommateur Notez que la première prévision est la première valeur observée. Les estimations pour le Feb. 95 (t 2) et le Mar. 95 (t 3) sont évaluées comme suit: 27 Exemple: Université du Michigan Indice de Consommateur RMSE 2,66 pour 0,6 RMSE 2,96 pour 0,3 28 Holts Lissage exponentiel Holts deux paramètres de lissage exponentiel Est une extension du lissage exponentiel simple. Il ajoute un facteur de croissance (ou facteur de tendance) à l'équation de lissage comme un moyen d'ajustement pour la tendance. 29 Holts Lissage exponentiel Trois équations et deux constantes de lissage sont utilisées dans le modèle. La série exponentiellement lissée ou estimation du niveau actuel. L'estimation de la tendance. Prévoyez des périodes p dans l'avenir. 30 Holts Lissage exponentiel L t Estimation du niveau de la série au temps t constante de lissage pour les données. Y t nouvelle observation ou valeur réelle des séries de la période t. Constante de lissage pour l'estimation de la tendance b t estimation de la pente de la série au temps t m périodes à prévoir dans l'avenir. 31 Holts Lissage exponentiel Le poids et peut être sélectionné subjectivement ou en minimisant une mesure d'erreur de prévision telle que RMSE. De gros poids entraînent des changements plus rapides dans la composante. De petits poids entraînent des changements moins rapides. 32 Holts Lissage exponentiel Le processus d'initialisation du lissage exponentiel linéaire de Holts nécessite deux estimations: une pour obtenir la première valeur lissée pour L1 l'autre pour obtenir la tendance b1. Une alternative consiste à définir L 1 y 1 et 33 Exemple: Ventes trimestrielles de scies pour la société Acme tool Le tableau suivant montre les ventes de scies pour l'outil Acme Company. Il s'agit des ventes trimestrielles de 1994 à 2000. 34 Exemple: Ventes trimestrielles de scies pour la société Acme outil L'examen de la parcelle montre: Une série de données non stationnaires. La variation saisonnière semble exister. Les ventes pour le premier et le quatrième trimestre sont plus importantes que les autres trimestres. 35 Exemple: ventes trimestrielles de scies pour la société Acme tool Le tracé des données Acme montre qu'il pourrait y avoir des tendances dans les données donc nous allons essayer Holts modèle pour produire des prévisions. Nous avons besoin de deux valeurs initiales La première valeur lissée pour L 1 La valeur de tendance initiale b 1. Nous utiliserons la première observation pour l'estimation de la valeur lissée L 1 et la valeur de tendance initiale b 1 0. Nous utiliserons .3 et .1. 37 RMSE pour cette application est: .3 et .1 RMSE Le graphique montre également la possibilité d'une variation saisonnière qui doit être étudiée. 38 Winters Exponential Smoothing Winters Le modèle de lissage exponentiel est la deuxième extension du modèle de lissage exponentiel de base. Il est utilisé pour les données qui présentent à la fois tendance et saisonnalité. Il s'agit d'un modèle à trois paramètres qui est une extension de la méthode Holts. Une équation supplémentaire ajuste le modèle pour la composante saisonnière. 39 Winters Lissage exponentiel Les quatre équations nécessaires à la méthode multiplicative de Winters sont: La série exponentiellement lissée: L'estimation de tendance: L'estimation de la saisonnalité: 40 Winters Lissage exponentiel Prévision m période dans l'avenir: L t niveau des séries. Constante de lissage des données. Y t nouvelle observation ou valeur réelle au cours de la période t. Constante de lissage pour l'estimation de tendance. B t estimation de la tendance. Constante de lissage pour l'estimation de la saisonnalité. Estimation des composantes saisonnières. M Nombre de périodes dans la période de prévision. S de saisonnalité (nombre de périodes de la saison) prévue pour m périodes dans le futur. 41 Winters Lissage exponentiel Comme avec le lissage exponentiel linéaire de Holts, les poids,, et peuvent être sélectionnés subjectivement ou en minimisant une mesure d'erreur de prévision telle que RMSE. Comme pour toutes les méthodes de lissage exponentielles, nous avons besoin de valeurs initiales pour les composants pour démarrer l'algorithme. Pour démarrer l'algorithme, les valeurs initiales pour L t, la tendance b t et les indices S t doivent être définies. 42 Winters Lissage exponentiel Pour déterminer les estimations initiales des indices saisonniers, nous devons utiliser au moins une saisons complètes (c'est-à-dire des périodes s). Par conséquent, nous initialisons la tendance et le niveau à la période s. Initialize level as: Initialiser la tendance comme Initialiser les indices saisonniers comme: 43 Winters Exponential Smoothing Nous allons appliquer la méthode Winters aux ventes de la société Acme Tool. La valeur de is.4, la valeur de is.1 et la valeur de is.3. La constante de lissage lisse les données pour éliminer le caractère aléatoire. La constante de lissage permet de lisser la tendance dans l'ensemble de données. 44 Winters Lissage exponentiel La constante de lissage permet de lisser la saisonnalité dans les données. Les valeurs initiales pour la série lt lt, la tendance T t et l'indice saisonnier S t doivent être fixées. 47 Saisonnalité additive La composante saisonnière dans la méthode Holt-Winters. Les équations de base de la méthode de Holts Winters sont les suivantes: 48 Saisonnalité additive Les valeurs initiales de L s et b s sont identiques à celles de la méthode multiplicative. Pour initialiser les indices saisonniers, nous utilisons des modèles de modélisation moyenne mobile et exponentielle. La première étape pour aller au-delà des modèles moyens, des modèles de marche aléatoire et des tendances linéaires, des tendances et des tendances non saisonnières peut être extrapolée à l'aide d'un modèle de moyenne mobile ou de lissage. L'hypothèse de base derrière les modèles de moyenne et de lissage est que la série temporelle est localement stationnaire avec une moyenne lentement variable. Par conséquent, nous prenons une moyenne mobile (locale) pour estimer la valeur actuelle de la moyenne, puis nous l'utilisons comme prévision pour le proche avenir. Cela peut être considéré comme un compromis entre le modèle moyen et le modèle randonnée aléatoire sans dérive. La même stratégie peut être utilisée pour estimer et extrapoler une tendance locale. Une moyenne mobile est souvent appelée une version quotsmoothedquot de la série originale parce que la moyenne à court terme a pour effet de lisser les bosses dans la série d'origine. En ajustant le degré de lissage (la largeur de la moyenne mobile), on peut espérer trouver un équilibre optimal entre la performance des modèles de marche moyenne et aléatoire. Le modèle le plus simple de la moyenne est le. Moyenne mobile simple (également pondérée): La prévision de la valeur de Y à l'instant t1 qui est faite à l'instant t est égale à la moyenne simple des observations m les plus récentes: (Ici et ailleurs, je vais utiliser le symbole 8220Y-hat8221 pour me tenir Pour une prévision de la série temporelle Y faite le plus tôt possible par un modèle donné). Cette moyenne est centrée à la période t (m1) 2, ce qui implique que l'estimation de la moyenne locale aura tendance à se situer en deçà du vrai Valeur de la moyenne locale d'environ (m1) 2 périodes. Ainsi, nous disons que l'âge moyen des données dans la moyenne mobile simple est (m1) 2 par rapport à la période pour laquelle la prévision est calculée: c'est le temps pendant lequel les prévisions auront tendance à être en retard par rapport aux points de retournement dans les données . Par exemple, si vous faites la moyenne des 5 dernières valeurs, les prévisions seront environ 3 périodes en retard pour répondre aux points de retournement. Notez que si m1, le modèle de moyenne mobile simple (SMA) est équivalent au modèle de marche aléatoire (sans croissance). Si m est très grand (comparable à la longueur de la période d'estimation), le modèle SMA est équivalent au modèle moyen. Comme pour tout paramètre d'un modèle de prévision, il est courant d'ajuster la valeur de k afin d'obtenir le meilleur rapport entre les données, c'est-à-dire les erreurs de prévision les plus faibles en moyenne. Voici un exemple d'une série qui semble présenter des fluctuations aléatoires autour d'une moyenne lentement variable. Tout d'abord, essayons de l'adapter à un modèle de marche aléatoire, ce qui équivaut à une moyenne mobile simple de 1 terme: Le modèle de marche aléatoire répond très rapidement aux changements dans la série, mais en le faisant, il choisit une grande partie du quotnoise dans le Données (les fluctuations aléatoires) ainsi que le quotsignalquot (la moyenne locale). Si nous essayons plutôt une moyenne mobile simple de 5 termes, nous obtenons un ensemble plus lisse de prévisions: La moyenne mobile simple à 5 termes génère des erreurs beaucoup plus faibles que le modèle de marche aléatoire dans ce cas. L'âge moyen des données de cette prévision est de 3 ((51) 2), de sorte qu'il tend à être en retard par rapport aux points de retournement d'environ trois périodes. (Par exemple, un ralentissement semble avoir eu lieu à la période 21, mais les prévisions ne tournent pas jusqu'à plusieurs périodes plus tard.) Notez que les prévisions à long terme du modèle SMA sont une ligne droite horizontale, tout comme dans la marche aléatoire modèle. Ainsi, le modèle SMA suppose qu'il n'y a pas de tendance dans les données. Cependant, alors que les prévisions du modèle randonnée aléatoire sont tout simplement égales à la dernière valeur observée, les prévisions du modèle SMA sont égales à une moyenne pondérée des valeurs récentes. Les limites de confiance calculées par Statgraphics pour les prévisions à long terme de la moyenne mobile simple ne s'élargissent pas à mesure que l'horizon de prévision augmente. Ce n'est évidemment pas correct Malheureusement, il n'existe pas de théorie statistique sous-jacente qui nous indique comment les intervalles de confiance devraient élargir pour ce modèle. Cependant, il n'est pas trop difficile de calculer des estimations empiriques des limites de confiance pour les prévisions à plus long terme. Par exemple, vous pouvez créer une feuille de calcul dans laquelle le modèle SMA sera utilisé pour prévoir 2 étapes à venir, 3 étapes à venir, etc. dans l'exemple de données historiques. Vous pouvez ensuite calculer les écarts types des erreurs à chaque horizon de prévision, puis construire des intervalles de confiance pour les prévisions à long terme en ajoutant et en soustrayant des multiples de l'écart-type approprié. Si nous essayons une moyenne mobile simple de 9 termes, nous obtenons des prévisions encore plus lisses et plus d'un effet de retard: L'âge moyen est maintenant 5 périodes ((91) 2). Si l'on prend une moyenne mobile à 19 mois, l'âge moyen passe à 10: On remarque que les prévisions sont maintenant en retard par rapport aux points de retournement d'environ 10 périodes. Quelle quantité de lissage est la meilleure pour cette série Voici un tableau qui compare leurs statistiques d'erreur, incluant également une moyenne à 3 termes: Le modèle C, la moyenne mobile à 5 termes, donne la plus faible valeur de RMSE d'une petite marge sur les 3 À moyen terme et à moyen terme, et leurs autres statistiques sont presque identiques. Ainsi, parmi les modèles avec des statistiques d'erreur très similaires, nous pouvons choisir si nous préférerions un peu plus de réactivité ou un peu plus de souplesse dans les prévisions. Le modèle de la moyenne mobile simple décrit ci-dessus a la propriété indésirable de traiter les dernières k observations de manière égale et d'ignorer complètement toutes les observations précédentes. (Retourner au haut de la page.) Intuitivement, les données passées devraient être actualisées de façon plus graduelle - par exemple, l'observation la plus récente devrait prendre un peu plus de poids que la deuxième plus récente, et la deuxième plus récente devrait avoir un peu plus de poids que la 3ème plus récente, et bientôt. Le simple lissage exponentiel (SES) modèle accomplit cela. Soit 945 une constante de quotslacement constante (un nombre entre 0 et 1). Une façon d'écrire le modèle consiste à définir une série L qui représente le niveau actuel (c'est-à-dire la valeur moyenne locale) de la série estimée à partir des données jusqu'à présent. La valeur de L à l'instant t est calculée récursivement à partir de sa propre valeur précédente comme ceci: La valeur lissée actuelle est donc une interpolation entre la valeur lissée précédente et l'observation courante, où 945 contrôle la proximité de la valeur interpolée à la valeur la plus récente observation. La prévision pour la période suivante est simplement la valeur lissée actuelle: De manière équivalente, nous pouvons exprimer directement la prochaine prévision en fonction des prévisions précédentes et des observations précédentes, dans l'une des versions équivalentes suivantes. Dans la première version, la prévision est une interpolation entre la prévision précédente et l'observation précédente: Dans la deuxième version, la prévision suivante est obtenue en ajustant la prévision précédente dans la direction de l'erreur précédente par une fraction 945. est l'erreur faite à Temps t. Dans la troisième version, la prévision est une moyenne mobile exponentiellement pondérée (c'est-à-dire actualisée) avec le facteur d'actualisation 1-945: La version d'interpolation de la formule de prévision est la plus simple à utiliser si vous mettez en œuvre le modèle sur une feuille de calcul: Cellule unique et contient des références de cellule pointant vers la prévision précédente, l'observation précédente et la cellule où la valeur de 945 est stockée. Notez que si 945 1, le modèle SES est équivalent à un modèle de marche aléatoire (sans croissance). Si 945 0, le modèle SES est équivalent au modèle moyen, en supposant que la première valeur lissée est égale à la moyenne. (Retourner au haut de la page.) L'âge moyen des données dans la prévision de lissage exponentielle simple est de 1 945 par rapport à la période pour laquelle la prévision est calculée. (Ce n'est pas censé être évident, mais on peut facilement le montrer en évaluant une série infinie.) Par conséquent, la prévision moyenne mobile simple tend à être en retard par rapport aux points de retournement d'environ 1 945 périodes. Par exemple, lorsque 945 0,5 le lag est 2 périodes lorsque 945 0,2 le retard est de 5 périodes lorsque 945 0,1 le lag est de 10 périodes, et ainsi de suite. Pour un âge moyen donné (c'est-à-dire le décalage), le lissage exponentiel simple (SES) est un peu supérieur à la moyenne mobile simple (SMA), car il place relativement plus de poids sur l'observation la plus récente. Il est un peu plus sensible aux changements survenus dans le passé récent. Par exemple, un modèle SMA avec 9 termes et un modèle SES avec 945 0,2 ont tous deux une moyenne d'âge de 5 pour les données dans leurs prévisions, mais le modèle SES met plus de poids sur les 3 dernières valeurs que le modèle SMA et à la Un autre avantage important du modèle SES par rapport au modèle SMA est que le modèle SES utilise un paramètre de lissage qui est variable en continu, de sorte qu'il peut facilement être optimisé En utilisant un algorithme quotsolverquot pour minimiser l'erreur quadratique moyenne. La valeur optimale de 945 dans le modèle SES de cette série s'élève à 0,2961, comme indiqué ici: L'âge moyen des données de cette prévision est de 10,2961 3,4 périodes, ce qui est similaire à celle d'une moyenne mobile simple à 6 termes. Les prévisions à long terme du modèle SES sont une droite horizontale. Comme dans le modèle SMA et le modèle randonnée aléatoire sans croissance. Cependant, notez que les intervalles de confiance calculés par Statgraphics divergent maintenant d'une manière raisonnable et qu'ils sont sensiblement plus étroits que les intervalles de confiance pour le modèle de marche aléatoire. Le modèle SES suppose que la série est quelque peu plus prévisible que le modèle de marche aléatoire. Un modèle SES est en fait un cas particulier d'un modèle ARIMA. La théorie statistique des modèles ARIMA fournit une base solide pour le calcul des intervalles de confiance pour le modèle SES. En particulier, un modèle SES est un modèle ARIMA avec une différence non saisonnière, un terme MA (1) et aucun terme constant. Autrement connu sous le nom de modèle de MARIMA (0,1,1) sans constantquot. Le coefficient MA (1) du modèle ARIMA correspond à la quantité 1 945 dans le modèle SES. Par exemple, si vous ajustez un modèle ARIMA (0,1,1) sans constante à la série analysée ici, le coefficient MA estimé (1) s'avère être 0.7029, ce qui est presque exactement un moins 0.2961. Il est possible d'ajouter l'hypothèse d'une tendance linéaire constante non nulle à un modèle SES. Pour cela, il suffit de spécifier un modèle ARIMA avec une différence non saisonnière et un terme MA (1) avec une constante, c'est-à-dire un modèle ARIMA (0,1,1) avec constante. Les prévisions à long terme auront alors une tendance égale à la tendance moyenne observée sur l'ensemble de la période d'estimation. Vous ne pouvez pas le faire en conjonction avec l'ajustement saisonnier, car les options de réglage saisonnier sont désactivées lorsque le type de modèle est réglé sur ARIMA. Cependant, vous pouvez ajouter une tendance exponentielle à long terme constante à un modèle de lissage exponentiel simple (avec ou sans ajustement saisonnier) en utilisant l'option d'ajustement de l'inflation dans la procédure de prévision. Le taux d'inflation appropriée (taux de croissance en pourcentage) par période peut être estimé comme le coefficient de pente dans un modèle de tendance linéaire adapté aux données en conjonction avec une transformation logarithmique naturelle, ou il peut être basé sur d'autres informations indépendantes concernant les perspectives de croissance à long terme . (Retour au haut de la page) Browns Linear (c'est-à-dire double) Lissage exponentiel Les modèles SMA et SES supposent qu'il n'y a aucune tendance des données (ce qui est normalement correct ou au moins pas trop mauvais pour 1- Des prévisions d'avance lorsque les données sont relativement bruyantes), et elles peuvent être modifiées pour incorporer une tendance linéaire constante comme indiqué ci-dessus. Qu'en est-il des tendances à court terme Si une série affiche un taux de croissance variable ou un schéma cyclique qui se distingue clairement du bruit, et s'il est nécessaire de prévoir plus d'une période à venir, l'estimation d'une tendance locale pourrait également être un problème. Le modèle de lissage exponentiel simple peut être généralisé pour obtenir un modèle linéaire de lissage exponentiel (LES) qui calcule des estimations locales de niveau et de tendance. Le modèle de tendance le plus simple variant dans le temps est le modèle de lissage exponentiel linéaire de Browns, qui utilise deux séries lissées différentes qui sont centrées à différents moments. La formule de prévision est basée sur une extrapolation d'une droite passant par les deux centres. (Une version plus sophistiquée de ce modèle, Holt8217s, est discutée ci-dessous.) La forme algébrique du modèle de lissage exponentiel linéaire de Brown8217s, comme celle du modèle de lissage exponentiel simple, peut être exprimée sous différentes formes différentes mais équivalentes. La forme quotométrique de ce modèle est habituellement exprimée comme suit: Soit S la série lissée par singulier obtenue en appliquant un lissage exponentiel simple à la série Y. C'est-à-dire que la valeur de S à la période t est donnée par: (Rappelons que, sous simple Le lissage exponentiel, ce serait la prévision de Y à la période t1.) Puis, désignons par Squot la série doublement lissée obtenue en appliquant le lissage exponentiel simple (en utilisant le même 945) à la série S: Enfin, la prévision pour Y tk. Pour tout kgt1, est donnée par: Ceci donne e 1 0 (c'est-à-dire tricher un peu, et laisser la première prévision égaler la première observation réelle), et e 2 Y 2 8211 Y 1. Après quoi les prévisions sont générées en utilisant l'équation ci-dessus. Cela donne les mêmes valeurs ajustées que la formule basée sur S et S si ces derniers ont été démarrés en utilisant S 1 S 1 Y 1. Cette version du modèle est utilisée sur la page suivante qui illustre une combinaison de lissage exponentiel avec ajustement saisonnier. Holt8217s Linear Exponential Smoothing Brown8217s Le modèle LES calcule les estimations locales de niveau et de tendance en lissant les données récentes, mais le fait qu'il le fait avec un seul paramètre de lissage impose une contrainte sur les modèles de données qu'il peut adapter: le niveau et la tendance Ne sont pas autorisés à varier à des taux indépendants. Le modèle LES de Holt8217s aborde cette question en incluant deux constantes de lissage, une pour le niveau et une pour la tendance. A tout moment t, comme dans le modèle Brown8217s, il existe une estimation L t du niveau local et une estimation T t de la tendance locale. Ici, elles sont calculées récursivement à partir de la valeur de Y observée au temps t et des estimations précédentes du niveau et de la tendance par deux équations qui leur appliquent un lissage exponentiel séparément. Si le niveau et la tendance estimés au temps t-1 sont L t82091 et T t-1. Respectivement, alors la prévision pour Y tshy qui aurait été faite au temps t-1 est égale à L t-1 T t-1. Lorsque la valeur réelle est observée, l'estimation actualisée du niveau est calculée récursivement en interpolant entre Y tshy et sa prévision, L t-1 T t-1, en utilisant des poids de 945 et 1 945. La variation du niveau estimé, À savoir L t 8209 L t82091. Peut être interprété comme une mesure bruyante de la tendance à l'instant t. L'estimation actualisée de la tendance est ensuite calculée récursivement en interpolant entre L t 8209 L t82091 et l'estimation précédente de la tendance, T t-1. Utilisant des poids de 946 et 1-946: L'interprétation de la constante de lissage de tendance 946 est analogue à celle de la constante de lissage de niveau 945. Les modèles avec de petites valeurs de 946 supposent que la tendance ne change que très lentement avec le temps tandis que les modèles avec 946 supposent qu'il change plus rapidement. Un modèle avec un grand 946 croit que l'avenir lointain est très incertain, parce que les erreurs dans l'estimation de la tendance deviennent très importantes lors de la prévision de plus d'une période à venir. Les constantes de lissage 945 et 946 peuvent être estimées de la manière habituelle en minimisant l'erreur quadratique moyenne des prévisions à 1 pas. Lorsque cela est fait dans Statgraphics, les estimations s'avèrent être 945 0,3048 et 946 0,008. La très petite valeur de 946 signifie que le modèle suppose très peu de changement dans la tendance d'une période à l'autre, donc, fondamentalement, ce modèle essaie d'estimer une tendance à long terme. Par analogie avec la notion d'âge moyen des données utilisées pour estimer le niveau local de la série, l'âge moyen des données utilisées pour estimer la tendance locale est proportionnel à 1 946, mais pas exactement égal à celui-ci . Dans ce cas, cela s'avère être 10.006 125. Ceci n'est pas un nombre très précis dans la mesure où la précision de l'estimation de 946 est vraiment de 3 décimales, mais elle est du même ordre de grandeur que la taille de l'échantillon de 100, donc Ce modèle est la moyenne sur beaucoup d'histoire dans l'estimation de la tendance. Le graphique ci-dessous montre que le modèle ERP estime une tendance locale légèrement plus grande à la fin de la série que la tendance constante estimée dans le modèle SEStrend. En outre, la valeur estimée de 945 est presque identique à celle obtenue en ajustant le modèle SES avec ou sans tendance, donc c'est presque le même modèle. Maintenant, est-ce que ces ressembler à des prévisions raisonnables pour un modèle qui est censé être l'estimation d'une tendance locale Si vous 8220eyeball8221 cette intrigue, il semble que la tendance locale a tourné vers le bas à la fin de la série Qu'est-ce qui s'est passé Les paramètres de ce modèle Ont été estimées en minimisant l'erreur au carré des prévisions à un pas, et non des prévisions à plus long terme, auquel cas la tendance ne fait pas beaucoup de différence. Si tout ce que vous regardez sont des erreurs en une étape, vous ne voyez pas l'image plus grande des tendances sur (disons) 10 ou 20 périodes. Afin d'obtenir ce modèle plus en phase avec notre extrapolation ophtalmique des données, nous pouvons ajuster manuellement la constante de lissage de tendance de sorte qu'il utilise une ligne de base plus courte pour l'estimation de tendance. Par exemple, si nous choisissons de fixer 946 0,1, alors l'âge moyen des données utilisées pour estimer la tendance locale est de 10 périodes, ce qui signifie que nous faisons la moyenne de la tendance au cours des 20 dernières périodes. Here8217s ce que l'intrigue de prévision ressemble si nous fixons 946 0.1 tout en gardant 945 0.3. Cela semble intuitivement raisonnable pour cette série, bien qu'il soit probablement dangereux d'extrapoler cette tendance plus de 10 périodes dans l'avenir. Qu'en est-il des statistiques d'erreur Voici une comparaison de modèles pour les deux modèles présentés ci-dessus ainsi que trois modèles SES. La valeur optimale de 945 pour le modèle SES est d'environ 0,3, mais des résultats similaires (avec un peu plus ou moins de réactivité, respectivement) sont obtenus avec 0,5 et 0,2. (A) Holts linéaire exp. Lissage avec alpha 0,3048 et bêta 0,008 (B) Holts linéaire exp. Lissage avec alpha 0.3 et bêta 0.1 (C) Lissage exponentiel simple avec alpha 0.5 (D) Lissage exponentiel simple avec alpha 0.3 (E) Lissage exponentiel simple avec alpha 0.2 Leurs stats sont quasiment identiques, donc nous ne pouvons pas vraiment faire le choix sur la base Des erreurs de prévision à 1 pas dans l'échantillon de données. Nous devons nous rabattre sur d'autres considérations. Si nous croyons fermement qu'il est logique de baser l'estimation de la tendance actuelle sur ce qui s'est produit au cours des 20 dernières périodes, nous pouvons faire valoir le modèle ERP avec 945 0,3 et 946 0,1. Si nous voulons être agnostiques quant à savoir s'il existe une tendance locale, alors l'un des modèles SSE pourrait être plus facile à expliquer et donnerait également plus de prévisions moyennes de route pour les 5 ou 10 prochaines périodes. (Retourner au haut de la page.) Quel type d'extrapolation de tendance est le mieux: horizontal ou linéaire Les données empiriques suggèrent que, si les données ont déjà été ajustées (si nécessaire) pour l'inflation, il peut être imprudent d'extrapoler des courbes linéaires à court terme Tendances très loin dans l'avenir. Les tendances évidentes aujourd'hui peuvent ralentir à l'avenir en raison de causes variées telles que l'obsolescence des produits, la concurrence accrue, les ralentissements cycliques ou les retournements dans une industrie. Pour cette raison, le lissage exponentiel simple obtient souvent une meilleure sortie de l'échantillon que ce qui pourrait être attendu autrement, malgré son extrapolation de tendance horizontale quotnaivequot. Les modifications de tendance amorties du modèle de lissage exponentiel linéaire sont aussi souvent utilisées dans la pratique pour introduire une note de conservatisme dans ses projections de tendance. Le modèle ERP à tendance amortie peut être mis en œuvre comme un cas particulier d'un modèle ARIMA, en particulier un modèle ARIMA (1,1,2). Il est possible de calculer des intervalles de confiance autour des prévisions à long terme produites par les modèles de lissage exponentiel, en les considérant comme des cas spéciaux de modèles ARIMA. La largeur des intervalles de confiance dépend de (i) l'erreur RMS du modèle, (ii) le type de lissage (simple ou linéaire) (iii) la valeur (S) de la constante de lissage et (iv) le nombre de périodes à venir que vous prévoyez. En général, les intervalles s'étalent plus rapidement lorsque 945 devient plus grand dans le modèle SES et ils s'étalent beaucoup plus rapidement lorsque linéaire plutôt que de simple lissage est utilisé. Ce sujet est abordé plus en détail dans la section des modèles ARIMA des notes. 7.3.7 Moyenne mobile exponentiellement pondérée (EWMA) 7.3.7 Moyenne mobile exponentiellement pondérée Pour concilier les hypothèses de l'estimation de la moyenne mobile pondérée uniformément (UWMA) avec les réalités de l'hétéroscédasticité du marché, on pourrait appliquer l'estimateur 7.10 À seulement les données historiques les plus récentes tq. Ce qui devrait refléter le mieux les conditions actuelles du marché. Faire cela est auto-défaite, comme l'application de l'estimateur 7.10 à une petite quantité de données va augmenter son erreur-type. Par conséquent, UWMA implique un dilemme: l'appliquer à un grand nombre de données est mauvais, mais il est donc l'appliquer à un peu de données. Ceci a motivé Zangari (1994) à proposer une modification de l'UWMA appelée estimation de la moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA). Ceci applique une pondération non uniforme aux données de séries chronologiques, de sorte que beaucoup de données peuvent être utilisées mais les données récentes sont pondérées plus lourdement . Comme le nom l'indique, les poids sont basés sur la fonction exponentielle. L'estimation de la moyenne mobile pondérée exponentiellement remplace l'estimateur 7.10 par un facteur de décroissance généralement attribué à une valeur comprise entre 0,95 et 0,99. Les facteurs de désintégration plus faibles ont tendance à pondérer plus fortement les données récentes. Notez que l'estimation de la moyenne mobile pondérée exponentiellement est largement utilisée, mais c'est une amélioration modeste par rapport à l'UWMA. Elle n'essaie pas de modéliser l'hétéroscédasticité conditionnelle du marché, pas plus que l'UWMA. Son schéma de pondération remplace le dilemme de la quantité de données à utiliser avec un dilemme similaire quant à la façon agressive d'un facteur de décroissance à utiliser. Envisager à nouveau la pièce 7.6 et notre exemple de la position de 10MM USD est SGD. Estimons 10 1 en utilisant l'estimateur de la moyenne mobile pondérée exponentiellement 7.20. Si nous utilisons .99, nous obtenons une estimation pour 10 1 de 0,0054. Si l'on utilise .95, on obtient une estimation de 0,0067. Ceux-ci correspondent à la position valeur-à-risque des résultats de USD 89.000 et USD 110.000, respectivement. La pièce 7.7 indique 30 jours de données pour le Libor de CHF à 1 mois. Pièce 7.7: Données sur le Libor à 1 mois. Les taux sont exprimés en pourcentages. Source: British Bankers Association (BBA).